矩阵的四个基本空间的基底

给空间选代表

之前介绍过矩阵有四个基本空间

矩阵的四个基本空间

并且有两组正交关系

矩阵的四个基本空间正交关系

有了空间,若想继续研究,就需要找一些 代表 ,即 基底

普通基底

本小节用到的技术手段很简单-- 初等行变换

假设有任意 $m\times n$ 阶矩阵 $A$,经过一系列初等行变换得到行阶梯型矩阵 $R$.因为这一系列初等行变换可对应地表示为一系列初等矩阵的乘积 $E$,因此,上述过程可描述为:

$$ E\begin{bmatrix}A & I_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}R & E \end{bmatrix} $$

其中,行阶梯型矩阵 $R$ 可分块表示为:

$$ R = \begin{bmatrix}I_r & F \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$

$I_r$ 为 $r$ 阶单位阵, $F$ 为 $r \times (n-r)$ 阶矩阵.

$E$ 为非奇异 $m$ 阶方阵,对应 $R$ 可分块表示为

$$ E = \begin{bmatrix} E_1 \\[3pt] E_2 \end{bmatrix} $$

$E_1$ 为 $r\times m$ 阶,$E_2$ 为 $(m-r)\times m$ 阶

综上

$$ \begin{bmatrix}R & E \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I_r & F & E_1\\ 0 & 0 & E_2\end{bmatrix} $$

矩阵 $A$ 的四个基本空间的基底信息全部蕴含在上式中

行空间 $C(A^{\mathsf T})$

初等行变换不改变行空间,即

$$ C(A^{\mathsf T}) = C(R^{\mathsf T}) $$

所以,$\left[ I_r \quad F \right]$ 构成 $C(A^{\mathsf T})$ 的一组基底.

零空间 $N(A)$

初等行变换不改变零空间,即 $$N(A) = N(R)$$

显然 $$P = \begin{bmatrix}-F \\[3pt] I_{n-r}\end{bmatrix}$$

满足 $RP=0$,且 $P$ 列满秩,所以,$P$ 构成矩阵 $A$ 的零空间.

列空间 $C(A)$

初等行变换改变列空间,但不改变矩阵列向量间的线性关系,即 $A$ 矩阵中 $I_r$ 对应的列指标构成列空间的一组基底.(下有例题)

左零空间 $N(A^{\mathsf T})$

$$ EA = \begin{bmatrix} E_1A \\[3pt] E_2A \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}I_r & F \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = R $$

由 $E_2A = 0$,知 $E_2$ 的行向量属于左零空间 $N(A^{\mathsf T})$.因为 $E$ 非奇异,所以 $E_2$ 的行向量也线性无关,构成 $N(A^{\mathsf T})$ 的一组基底.

例题

假设一个 $4\times 5$ 阶矩阵 $A$

$$ A=\left[\begin{array}{lllll} {2} & {6} & {2} & {2} & {2} \\
{1} & {3} & {1} & {1} & {1} \\
{3} & {9} & {3} & {4} & {5} \\
{1} & {3} & {1} & {2} & {3} \end{array}\right] $$

求其 $C(A^{\mathsf T}), N(A), C(A)$ 以及 $N(A^{\mathsf T})$

进行初等行变换

$$ \begin{bmatrix}A & I_4 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix}R & E \end{bmatrix} $$

$$ \left[\begin{array}{lllll|llll}{2} & {6} & {2} & {2} & {2} & {1} & {0} & {0} & {0} \\ {1} & {3} & {1} & {1} & {1} & {0} & {1} & {0} & {0} \\ {3} & {9} & {3} & {4} & {5} & {0} & {0} & {1} & {0} \\ {1} & {3} & {1} & {2} & {3} & {0} & {0} & {0} & {1}\end{array}\right] \to $$ $$ \left[\begin{array}{rrrrr|rrrr}{1} & {3} & {1} & {0} & {-1} & {-17} & {28} & {4} & {5} \\ {0} & {0} & {0} & {1} & {2} & {27} & {-43} & {-6} & {7} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {-13} & {20} & {3} & {-3} \\ {0} & {0} & {0} & {0} & {0} & {4} & {-6} & {-1} & {1}\end{array}\right] $$

所以 $r=2$,$1, 4$ 列线性独立.以及

$$ \begin{bmatrix}I_2 & F \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 3 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0& 0&1&2 \end{bmatrix} $$

$$ E_2 = \begin{bmatrix} -13&20&3&-3\\ 4&-6&-1&1 \end{bmatrix} $$

$$P=\left[\begin{array}{rrr}{-3} & {-1} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {-2} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$$

  • 行空间 $C(A^{\mathsf T})$
    由 $\left[ I_r \quad F \right]$ 的行向量组成

    $$ \begin{bmatrix} 1\\3\\1\\0\\-1 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 0\\0\\0\\1\\2 \end{bmatrix} $$

  • 零空间 $N(A)$
    由 $P$ 的列向量组成

    $$ \begin{bmatrix} -3\\1\\0\\0\\0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} -1\\0\\1\\0\\0 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 1\\0\\0\\-2\\1 \end{bmatrix} $$

  • 列空间 $C(A)$
    由 $A$ 的 $1, 4$ 列构成

    $$ \begin{bmatrix} 2\\1\\3\\1 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 2\\1\\4\\2 \end{bmatrix} $$

  • 左零空间 $N(A^{\mathsf T})$
    由 $E_2$ 的行向量组成

    $$ \begin{bmatrix} -13\\20\\3\\-3 \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} 4\\-6\\-1\\1 \end{bmatrix} $$

正交基底

将上述结果经过 Gram-Schmidt 正交化,即可得到对应的正交基.但是,还有更简单的方法,但涉及奇异值分解,故在之后的奇异值分解系列再讨论.

updatedupdated2020-03-202020-03-20
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