矩阵的列空间

The Column Space of a Matrix

“前菜”

将向量 $\alpha = \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 5 \end{bmatrix}^{\mathsf T}$ 扩充

$$ \boldsymbol{A} = \bigl[\alpha ,\ 3\alpha \bigr] = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 6 \\ 5 & 15 \end{bmatrix} $$

因为列向量呈倍数关系,所以矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列秩为$1$。检查一下,矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的三个行向量也有倍数关系,行秩也是$1$

继续扩充,

\begin{equation} \label{eq:1} \boldsymbol{A} = \bigl[\alpha ,\ 3\alpha,\ 2\alpha,\ 4\alpha \bigr] = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 4 & 8 \\ 5 & 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} \end{equation}

检查一下,扩充之后依旧成立:行秩 $=$ 列秩 $= 1$

式(\ref{eq:1})可以写为:

\begin{equation}\label{eq:2} \begin{aligned} \boldsymbol{A} = \bigl[\alpha ,\ 3\alpha,\ 2\alpha,\ 4\alpha \bigr] &= \alpha\bigl[1,\ 3,\ 2,\ 4 \bigr] \\[3pt] &= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \end{bmatrix} \bigl[1,\ 3,\ 2,\ 4 \bigr] \\[3pt] & = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 & 4 \\ 2 & 6 & 4 & 8 \\ 5 & 15 & 10 & 20 \end{bmatrix} \end{aligned} \end{equation}

式(\ref{eq:2})可以说明:

  • 只考虑列向量扩充矩阵,行向量存在与列向量的不变量 --- 秩
  • $\boldsymbol{A}$ 的列向量全是列向量 $\alpha$ 的线性组合;
  • $\boldsymbol{A}$ 的行向量全是行向量 $\bigl[1,\ 3,\ 2,\ 4 \bigr]$ 的线性组合;

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列空间

$$ \begin{align*} \text{Column space of}\ \boldsymbol{A} &= C(\boldsymbol{A}) \\ &= \text{all vectors} \ \boldsymbol{A}\vec{x} \end{align*} $$
$$ \begin{align*} \boldsymbol{A}\vec{x} &= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} \\[3pt] &= \begin{bmatrix} 1\\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}x_1 + \begin{bmatrix} 4\\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}x_2 + \begin{bmatrix} 5\\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}x_3 \end{align*} $$

其中 $\vec{x}$ 任意取, $\boldsymbol{A}$ 的列空间即: $\boldsymbol{A}$ 的列的所有线性组合

因为

$$ \begin{bmatrix} 1\\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4\\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} $$

所以 $\boldsymbol{A}$ 的列空间表示一个平面(plane)


$\boldsymbol{A} = \boldsymbol{C}\boldsymbol{R}$

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可以写成如下矩阵分解的形式:

\begin{equation} \label{eq:3} \boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \left[ {\begin{array}{c:c} \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}& \begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix} \end{array}} \right] \end{equation}

第一个矩阵记为 $\boldsymbol{C}$,它的列向量全部来自矩阵 $\boldsymbol{A}$,并且是列满秩。实际,$\boldsymbol{C}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量中任意一个最大线性无关组

第二个矩阵记为 $\boldsymbol{R}$,它包含一个与行数同阶的单位矩阵(有可能是分散的)

任意矩阵都可以做如上分解,称为 CR 分解。

行秩 $\equiv$ 列秩

分解式 (\ref{eq:3}) 可以说明:

  1. 矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 列空间的(一组)基底,所以列秩$ = r (=2)$
  2. 矩阵 $\boldsymbol{R}$ 的行向量是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 行空间的(一组)基底,所以行秩$ = r (=2)$ (因为$\boldsymbol{R}$ 含有单位矩阵)

所以行秩 $\equiv$ 列秩

小结

  • 虽然没有求 CR 分解的具体公式(计算复杂),但是可以肯定所有矩阵都至少有一个 CR 分解,根据分解式,行秩 $\equiv$ 列秩是很显然的;
  • 当 $r=1$ 时, 就是“前菜”中呈现的例子。(秩1矩阵 $\boldsymbol{A}^n$ 问题);
  • 矩阵 $\boldsymbol{R}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的行阶梯形矩阵;
  • CR 分解没有“实用”价值,不用于求解线性方程组;
  • 当 $\boldsymbol{A}$ 列满秩时,CR 分解是无意义的。

总结

矩阵可以看成是由列向量组成的,矩阵的列空间是矩阵所有列的线性组合。CR 分解中,$\boldsymbol{C}$ 是矩阵列空间的基底,$\boldsymbol{R}$ 是矩阵行空间的基底。

updatedupdated2020-05-242020-05-24
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